第七章 作业5 宇宙航行

第一宇宙速度指物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，所以在地球表面附近运行的卫星的速度等于第一宇宙速度，故A错误，B正确；若卫星发射速度大于第二宇宙速度，则会脱离地球束缚，不会进入月球轨道，故C错误；若想让卫星进入太阳轨道，需要脱离地球束缚，发射速度需大于第二宇宙速度，故D正确。

7.9 km/s是脱离地球表面的最小速度，11.2 km/s是脱离地球束缚的最小速度，16.7 km/s是脱离太阳系的最小速度，“东方红一号”脱离地球表面、未脱离地球束缚，故它的发射速度v应满足7.9 km/s<v<11.2 km/s，故B正确，A、C、D错误。

地球的第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，有$\frac{GMm}{r^2}$=m$\frac{v^2}{r}$，解得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，假设地球质量不变，而地球的半径增大到原来的2倍，那么地球的第一宇宙速度为v′=$\sqrt{\frac{GM}{2r}}$，可得$\frac{v^{\mathrm{\text{'}}}}{v}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故选D。

第一宇宙速度大小等于物体在中心天体表面运行的环绕速度，轨道半径与中心天体半径近似相等，则有G$\frac{M_1{m}_1}{{r_1}^2}$=m₁$\frac{{v_1}^2}{r_1}$，G$\frac{M_2{m}_2}{{r_2}^2}$=m₂$\frac{{v_2}^2}{r_2}$，其中M₁=5M₂，r₁=1.25r₂，解得$\frac{v_1}{v_2}$=2，故选B。

地面附近发射飞行器绕地球沿椭圆轨道运动，发射速度应大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度，即速度大于7.9 km/s，且小于11.2 km/s，A错误；地面附近发射火星探测器的速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度，即速度大于11.2 km/s，且小于16.7 km/s，B正确；根据G$\frac{Mm}{R^2}$=m$\frac{v^2}{R}$，可得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，火星与地球的第一宇宙速度之比为$\frac{v_{\mathrm{火}}}{v_{\mathrm{地}}}$=$\sqrt{\frac{M_{\mathrm{火}}}{M_{\mathrm{地}}}·\frac{R_{\mathrm{地}}}{R_{\mathrm{火}}}}$=$\sqrt{\frac{1}{5}}$，火星的第一宇宙速度为v_火=$\frac{1}{\sqrt{5}}$v_地≈3.53 km/s，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，环绕火星的“环火器”的速度小于火星的第一宇宙速度，即小于3.53 km/s，C、D错误。

人造地球卫星靠地球的万有引力提供向心力而绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的万有引力方向指向地心，所以人造地球卫星做圆周运动的圆心是地心，否则不能做稳定的圆周运动。故B不可能，A、C、D可能。

静止轨道卫星必须在赤道正上空36 000 km处，所以a轨道不可能是静止轨道卫星的轨道，选项A错误；b轨道上的卫星的速度方向不断变化，所以速度时刻变化，选项B错误；地球在c轨道的一个焦点上，因此在近地点时卫星速度快，远地点速度慢，选项C错误；在c轨道上，卫星离地球的距离不断变化，根据F=G$\frac{m{m}_{\mathrm{地}}}{r^2}$可以看出受到的地球的引力大小不断变化，选项D正确。

(1)若忽略该行星自转的影响，物体在该行星表面受到的重力等于其受到的万有引力，可得G$\frac{Mm}{R^2}$=mg

解得M=$\frac{g{R}^2}{G}$

(2)该行星同步卫星的运行周期与该行星的自转周期相同

对其同步卫星，由万有引力提供向心力可得G$\frac{M{m}^{\mathrm{\text{'}}}}{r^2}$=m′r$\frac{4{\mathrm{\pi }}^2}{T^2}$

联立(1)中的结论可得r=$\sqrt[3]{\frac{g{R}^2{T}^2}{4{\mathrm{\pi }}^2}}$。

地球静止卫星是运行在地球同步轨道上的人造卫星，距离地面的高度约为36 000 km，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上方的圆形轨道，由于北京不在赤道上，所以它不可以绕过北京的正上方，故A正确，C错误；由G$\frac{Mm}{r^2}$=m($\frac{2\mathrm{\pi }}{T}$)²r 可知，卫星质量不影响运动的轨道半径，故B错误；由G$\frac{Mm}{r^2}$=m$\frac{v^2}{r}$知，地球静止卫星轨道半径大于地球的半径，所以它运行的速度小于第一宇宙速度7.9 km/s，故D错误。

设“祝融号”质量为m，地球质量为M，地球的第一宇宙速度为v，地球的半径为R，则对在地面附近绕地球做匀速圆周运动的物体，设物体质量为m₀，有$\frac{GM{m}_0}{R^2}$=$\frac{m_0{v}^2}{R}$，得R=$\frac{GM}{v^2}$，“祝融号”在地球表面所受万有引力为F=$\frac{GMm}{R^2}$=$\frac{GMm}{(\frac{GM}{v^2}{)}^2}$=$\frac{m{v}^4}{GM}$，设火星质量为M₁，火星的第一宇宙速度为v₁，火星的半径为R₁，同理可得“祝融号”在火星表面所受万有引力为F₁=$\frac{m{v_1}^4}{G{M}_1}$，所以${\frac{F}{F}}_1$=$\frac{v^4{M}_1}{{v_1}^{4}M}$=(2.2)⁴×$\frac{1}{9.28}$≈2.5，故A、B、D错误，C正确。

由题意可知，未来地球自转的周期将进一步变长，所以未来发射的地球同步卫星的周期也将变长。设地球质量为M，同步卫星的质量为m，轨道半径为r，运行周期为T，万有引力提供向心力，有G$\frac{Mm}{r^2}$=m${\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{T}\right)}^2$r，可得T=2π$\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$，可见要增大同步卫星的运行周期，需增大同步卫星的轨道半径，则同步卫星距地球的高度将变大，A正确；由a=$\frac{GM}{r^2}$，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$及ω=$\sqrt{\frac{GM}{r^3}}$可知，同步卫星的向心加速度、线速度和角速度都将变小，B、C、D错误。

设黑洞的质量为M，黑洞的半径为R，与该黑洞中心距离为r的星体，正以速度v围绕黑洞中心旋转，根据万有引力提供向心力可得$\frac{GMm}{r^2}$=m$\frac{v^2}{r}$，该黑洞表面的物体速度达到光速c时恰好围绕其表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得$\frac{GM{m}^{\mathrm{\text{'}}}}{R^2}$=m′$\frac{c^2}{R}$，联立解得R=$\frac{v^2}{c^2}$r，A正确，B、C、D错误。

(1)设做圆周运动的物体的质量为m，

则mg=m$\frac{{v_0}^2}{l}$，

解得g=$\frac{{v_0}^2}{l}$

(2)设在该星球表面的某物体的质量为m′，

则G$\frac{M{m}^{\mathrm{\text{'}}}}{R^2}$=m′g

解得M=$\frac{{v_0}^2{R}^2}{Gl}$

(3)第一宇宙速度等于物体在星球附近做匀速圆周运动的速度大小，

设在星球附近环绕的物体质量为m″，

则$\frac{GM{m}^{″}}{R^2}$=m″$\frac{v^2}{R}$

解得v=v₀$\sqrt{\frac{R}{l}}$。