第七章作业2 复数的几何意义

第1题 (单选题) 难度 - 基础题：

在复平面内，复数z=1+ $\frac{1}{2}$ i的共轭复数对应的点位于(　　)

A: 第一象限
B: 第二象限
C: 第三象限
D: 第四象限

解析:

复数z=1+ $\frac{1}{2}$ i的共轭复数为 $\bar{z}$ =1- $\frac{1}{2}$ i，

故其共轭复数在复平面内对应的点为 $(1, - \frac{1}{2})$ ，位于第四象限.

第2题 (单选题) 难度 - 基础题：

在复平面内，表示复数z=a-1+(a+2)i的点在第二象限，则实数a满足(　　)

A: -1<a<2
B: -2<a<1
C: a>1
D: a<-2

解析:

由已知，得 $\{\begin{array}{l} a - 1 < 0, \\ a + 2 > 0, \end{array}$

解得-2<a<1.

第3题 (单选题) 难度 - 基础题：

在复平面内，O为原点，向量 $\vec{O A}$ 对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y=-x的对称点为B，则向量 $\vec{O B}$ 对应的复数为(　　)

A: -2-i
B: -2+i
C: 1+2i
D: -1+2i

解析:

由题意知点A的坐标为(-1，2)，

∵A(-1，2)关于直线y=-x的对称点为B(-2，1)，

∴向量 $\vec{O B}$ 对应的复数为-2+i.

第4题 (单选题) 难度 - 基础题：

已知a，b，c∈R，i为虚数单位，若复数z=ac+abi在复平面内对应的点位于第一或第三象限，则下列式子一定正确的是(　　)

A: ab>0
B: ac>0
C: bc>0
D: bc<0

解析:

由题意知，复数z的实部与虚部应同号，

所以ac·ab>0，

即a²bc>0，所以bc>0.

第5题 (单选题) 难度 - 基础题：

已知复数z满足|z|²-2|z|-3=0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形(　　)

A: 一个圆
B: 线段
C: 两点
D: 两个圆

解析:

∵|z|²-2|z|-3=0，

∴(|z|-3)(|z|+1)=0，

∴|z|=3(|z|=-1舍去)，

∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的一个圆.

第6题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)(课本P74习题7.1T10改编)已知复数z的虚部为 $\sqrt{3}$ ，在复平面内复数z对应的向量的模为2，则复数z等于(　　)

A: 1+ $\sqrt{3}$ i
B: $\sqrt{3}$ +i
C: $\sqrt{3}$ -i
D: -1+ $\sqrt{3}$ i

解析:

由题意设z=a+ $\sqrt{3}$ i，a∈R，

则|z|= $\sqrt{a^{2} + (\sqrt{3})^{2}}$ =2，

解得a=±1，所以z=±1+ $\sqrt{3}$ i.

第7题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)已知复数z=3-4i(其中i是虚数单位)，则下列命题中正确的为(　　)

A: |z|=5
B: z的虚部是-4
C: z-3+4i是纯虚数
D: z在复平面上对应点在第四象限

解析:

复数z=3-4i，

则|z|= $\sqrt{3^{2} + (- 4)^{2}}$ =5，故A正确；

z=3-4i的虚部是-4，故B正确；

z-3+4i=3-4i-3+4i=0，是实数，故C错误；

z在复平面上对应点的坐标为(3，-4)，在第四象限，故D正确.

第8题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)已知复数z₁=2+3i，z₂=3-4i，z₁，z₂在复平面内对应的点分别为Z₁，Z₂，则(　　)

A: |z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|
B: |Z₁Z₂|=5 $\sqrt{2}$
C: 满足|z|=|z₂|的复数z对应的点Z形成的图形的周长为5π
D: 满足|z₁|<|z|<|z₂|的复数z对应的点Z形成的图形的面积为12π

解析:

由z₁=2+3i，z₂=3-4i，

得Z₁=(2，3)，Z₂=(3，-4).

对于A，z₁+z₂=5-i，

则|z₁+z₂|= $\sqrt{26}$ ，

又|z₁|= $\sqrt{13}$ ，|z₂|=5，

所以|z₁+z₂|≠|z₁|+|z₂|，故A错误；

对于B，|Z₁Z₂|= $\sqrt{(2 - 3)^{2} + (3 + 4)^{2}}$ =5 $\sqrt{2}$ ，故B正确；

对于C，设z=a+bi(a，b∈R)，

则|z|= $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，

由|z|=|z₂|，得 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ =5，

即a²+b²=25，

所以复数z对应的点Z形成的图形的周长为10π，故C错误；

对于D，设z=a+bi(a，b∈R)，

则|z|= $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，

又|z₁|= $\sqrt{13}$ ，|z₂|=5，

所以 $\sqrt{13}$ < $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ <5，

即13<a²+b²<25，

所以满足|z₁|<|z|<|z₂|的复数z对应的点Z形成的图形的面积为25π-13π=12π，故D正确.

第9题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)已知z₁，z₂是复数，则以下结论正确的是(　　)

A: 若z₁+z₂=0，则z₁=0且z₂=0
B: 若|z₁|+|z₂|=0，则z₁=0且z₂=0
C: 若|z₁|=|z₂|，则向量 $\vec{O Z_{1}}$ 和 $\vec{O Z_{2}}$ 重合
D: 若|z₁-z₂|=0，则 ${\bar{z}}_{1}$ = ${\bar{z}}_{2}$

解析:

A中，z₁+z₂=0只能说明z₁=-z₂；

B中，|z₁|+|z₂|=0，

说明|z₁|=|z₂|=0，即z₁=z₂=0；

C中，|z₁|=|z₂|，

说明| $\vec{O Z_{1}}$ |=| $\vec{O Z_{2}}$ |，

但 $\vec{O Z_{1}}$ 与 $\vec{O Z_{2}}$ 方向不一定相同；

D中，|z₁-z₂|=0，

则z₁=z₂，故 ${\bar{z}}_{1}$ = ${\bar{z}}_{2}$ .

故正确的为B，D选项.

第10题 (填空题) 难度 - 基础题：

若x-2+yi与3x-i互为共轭复数，则实数x，y之和为　　　　.

答案:

解析:

由题意知 $\{\begin{array}{l} x - 2 = 3 x, \\ y - 1 = 0, \end{array}$

解得 $\{\begin{array}{l} x = - 1, \\ y = 1, \end{array}$ 则x+y=0.

第11题 (填空题) 难度 - 基础题：

复数z=a²-1+(a+1)i(a∈R)在复平面上对应的点在虚轴上，则a=　　　，|z|=　　　.

答案:

±1　2或0

解析:

由题意知a²-1=0，

解得a=±1，

则当a=1时，

z=2i，|z|=2；

当a=-1时，

z=0，|z|=0.

第12题 (填空题) 难度 - 基础题：

在▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4+i，3+4i，3-5i，则点D对应的复数是　　　　　　.

答案:

4-8i

解析:

由题意可得A(4，1)，B(3，4)，C(3，-5)，

设▱ABCD的对角线的交点为M(x_M，y_M)，点D的坐标为(x，y)，

由中点坐标公式得 $\{\begin{array}{l} x_{M} = \frac{4 + 3}{2} = \frac{3 + x}{2}, \\ y_{M} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{4 + y}{2}, \end{array}$

解得 $\{\begin{array}{l} x = 4, \\ y = - 8, \end{array}$

所以点D的坐标为(4，-8)，则点D对应的复数为4-8i.

第13题 (填空题) 难度 - 基础题：

设复数z₁=m+i，z₂=4-i对应的点分别为Z₁，Z₂，O为坐标原点，若 $\vec{O Z_{1}}$ ⊥ $\vec{O Z_{2}}$ ，则实数m的值为　　　　.

答案:

$\frac{1}{4}$

解析:

复数z₁=m+i，z₂=4-i对应的点分别为Z₁(m，1)，Z₂(4，-1)，

则 $\vec{O Z_{1}}$ =(m，1)， $\vec{O Z_{2}}$ =(4，-1).

由 $\vec{O Z_{1}}$ ⊥ $\vec{O Z_{2}}$ 得 $\vec{O Z_{1}}$ · $\vec{O Z_{2}}$ =4m-1=0，

解得m= $\frac{1}{4}$ .

第14题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

(课本P74习题7.1T7改编)在复平面内，O是原点，向量 $\vec{O A}$ 对应的复数为z，若点A关于原点的对称点为点B，点B关于实轴的对称点为点C，且向量 $\vec{O C}$ 对应的复数是-5-2i，求复数z.

答案:

解　由题意得点C(-5，-2)，所以点B(-5，2)，

所以点A(5，-2)，所以z=5-2i.

第15题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

在复平面内，O是原点，向量 $\vec{O A}$ 对应的复数为2+i.

(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量 $\vec{O B}$ 对应的复数；

(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.

答案:

解　(1)设向量 $\vec{O B}$ 对应的复数为z₁=x₁+y₁i(x₁，y₁∈R)，

则点B的坐标为(x₁，y₁)，

由题意可知，点A的坐标为(2，1).

根据对称性可知，

x₁=2，y₁=-1，

故z₁=2-i.

(2)设点C对应的复数为z₂=x₂+y₂i(x₂，y₂∈R)，

则点C的坐标为(x₂，y₂)，

由对称性可知，

x₂=-2，y₂=-1，

故z₂=-2-i.

第16题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

设z=x+yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤ $\sqrt{2}$ ，判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积.

答案:

解　|w|= $\sqrt{(x + y)^{2} + (x - y)^{2}}$ = $\sqrt{2 (x^{2} + y^{2})}$ = $\sqrt{2}$ |z|，

而1≤|z|≤ $\sqrt{2}$ ，

故 $\sqrt{2}$ ≤|w|≤2.

所以w的对应点的集合是以原点为圆心，

半径为 $\sqrt{2}$ 和2的圆所夹圆环内的点(包括圆环的边界)，

其面积为S=π[2²-( $\sqrt{2}$ )²]=2π.

第17题 (填空题) 难度 - 基础题：

已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z₁=sin²θ+i，z₂=-cos²θ+icos 2θ，其中θ∈(0，π).设 $\vec{A B}$ 对应的复数是z.若复数z对应的点P在y= $\frac{1}{2}$ x的图象上，则θ=　　　　　　.

答案:

$\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$

解析:

因为点A，B对应的复数分别是

z₁=sin²θ+i，z₂=-cos²θ+icos 2θ，

所以点A，B的坐标分别是A(sin²θ，1)，

B(-cos²θ，cos 2θ)，

所以 $\vec{A B}$ =(-1，-2sin²θ)，

所以 $\vec{A B}$ 对应的复数是z=-1+(-2sin²θ)i.

所以点P的坐标是(-1，-2sin²θ)，

代入y= $\frac{1}{2}$ x，得-2sin²θ=- $\frac{1}{2}$ ，即sin²θ= $\frac{1}{4}$ ，

所以sin θ=± $\frac{1}{2}$ .又因为θ∈(0，π)，

所以sin θ= $\frac{1}{2}$ ，所以θ= $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ .

第18题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

已知x为实数，复数z=x-2+(x+2)i.

(1)当x为何值时，复数z的模最小？

(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y=-mx+n的图象上，其中mn>0，求 $\frac{1}{m}$ + $\frac{1}{n}$ 的最小值及取得最小值时m，n的值.

答案:

解　(1)由题意得

|z|= $\sqrt{(x - 2)^{2} + (x + 2)^{2}}$ = $\sqrt{2 x^{2} + 8}$ ≥2 $\sqrt{2}$ ，显然当x=0时，复数z的模最小，最小值为2 $\sqrt{2}$ .

(2)由(1)知当x=0时，复数z的模最小，

则Z(-2，2).

因为点Z在一次函数y=-mx+n的图象上，所以2m+n=2，所以m+ $\frac{n}{2}$ =1.

又mn>0，

所以 $\frac{1}{m}$ + $\frac{1}{n}$ = $(\frac{1}{m} + \frac{1}{n}) (m + \frac{n}{2})$ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{m}{n}$ + $\frac{n}{2 m}$ ≥ $\frac{3}{2}$ + $\sqrt{2}$ .

当且仅当 $\frac{m}{n}$ = $\frac{n}{2 m}$ ，即n²=2m²时等号成立.

又2m+n=2且mn>0，

所以取等号时m=2- $\sqrt{2}$ ，n=2 $\sqrt{2}$ -2， $\frac{1}{m}$ + $\frac{1}{n}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$ + $\sqrt{2}$ .

第七章 作业2 复数的几何意义

第七章作业2 复数的几何意义