第六章周练3(范围：6.4.3)

第2题 (单选题) 难度 - 基础题：

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A=60°，b=1，这个三角形的面积为 $\sqrt{3}$ ，则a等于(　　)

A: 2
B: $\sqrt{10}$
C: 2 $\sqrt{3}$
D: $\sqrt{13}$

解析:

依题意，得S= $\frac{1}{2}$ bcsin A= $\frac{1}{2}$ ×1×csin 60°= $\sqrt{3}$ ，解得c=4，由余弦定理，

得a= $\sqrt{1^{2} + 4^{2} - 2 \times 1 \times 4 c o s 60 °}$ = $\sqrt{13}$ .

第3题 (单选题) 难度 - 基础题：

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=4，b=5，c=6，则 $\frac{s i n 2 A}{s i n C}$ 的值为(　　)

A: $\frac{9}{16}$
B: 1
C: $\frac{1}{2}$
D: $\frac{16}{9}$

解析:

由余弦定理的推论，

得cos A= $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ = $\frac{25 + 36 - 16}{2 \times 5 \times 6}$ = $\frac{3}{4}$ ，

所以 $\frac{s i n 2 A}{s i n C}$ = $\frac{2 s i n A c o s A}{s i n C}$ = $\frac{2 a c o s A}{c}$ = $\frac{4 c o s A}{3}$ =1.

第4题 (单选题) 难度 - 基础题：

已知飞机的飞行航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，如图所示，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行26 km到达B处，测得目标C的俯角为75°，此时B处与地面目标C的距离为(　　)

A: 13 $\sqrt{6}$ km
B: 5 $\sqrt{2}$ km
C: 5 km
D: 13 $\sqrt{2}$ km

解析:

在△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC=180°-75°=105°，所以C=180°-30°-105°=45°，由正弦定理得 $\frac{B C}{s i n 30 °}$ = $\frac{A B}{s i n 45 °}$ ，

则BC= $\frac{A B}{s i n 45 °}$ ·sin 30°= $\frac{26}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ × $\frac{1}{2}$ =13 $\sqrt{2}$ (km).

第5题 (单选题) 难度 - 基础题：

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C= $\frac{2}{3}$ ，a=3b，则cos A等于(　　)

A: $\frac{\sqrt{6}}{6}$
B: - $\frac{\sqrt{6}}{6}$
C: $\frac{\sqrt{5}}{3}$
D: - $\frac{\sqrt{5}}{3}$

解析:

因为cos C= $\frac{2}{3}$ ，a=3b，

由余弦定理c²=a²+b²-2abcos C，

得c²=9b²+b²-2×3b×b× $\frac{2}{3}$ =6b²，

所以cos A= $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ = $\frac{b^{2} + 6 b^{2} - 9 b^{2}}{2 \sqrt{6} b^{2}}$ =- $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

第6题 (单选题) 难度 - 基础题：

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S_△_ABC=2 $\sqrt{3}$ ，a+b=6， $\frac{a c o s B + b c o s A}{c}$ =2cos C，则c等于(　　)

A: 2 $\sqrt{7}$
B: 4
C: 2 $\sqrt{3}$
D: 3 $\sqrt{3}$

解析:

由正弦定理，得 $\frac{a c o s B + b c o s A}{c}$ = $\frac{s i n A c o s B + s i n B c o s A}{s i n C}$ = $\frac{s i n (A + B)}{s i n (A + B)}$ =1，

即2cos C=1，可得C=60°，又S_△_ABC=2 $\sqrt{3}$ ，

所以 $\frac{1}{2}$ absin C=2 $\sqrt{3}$ ，

即ab=8，又a+b=6，

由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos C=(a+b)²-2ab-ab=(a+b)²-3ab=6²-3×8=12，

解得c=2 $\sqrt{3}$ .

第7题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中使得△ABC恰有一个解的是(　　)

A: a=2 $\sqrt{3}$ ，b=4，A= $\frac{2 π}{3}$
B: a=2 $\sqrt{3}$ ，b=4，A= $\frac{π}{3}$
C: a= $\sqrt{15}$ ，b=4，A= $\frac{π}{3}$
D: a= $\sqrt{17}$ ，b=4，A= $\frac{π}{6}$

解析:

对于A，b>a，所以B>A，又A= $\frac{2 π}{3}$ ，所以B> $\frac{2 π}{3}$ ，这与A+B+C=π矛盾，所以△ABC无解；

对于B，由正弦定理 $\frac{a}{s i n A}$ = $\frac{b}{s i n B}$ ，可得sin B=1，即B= $\frac{π}{2}$ ，所以△ABC只有一解；

对于C，由正弦定理 $\frac{a}{s i n A}$ = $\frac{b}{s i n B}$ ，可得sin B= $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ >sin $\frac{π}{3}$ ，又a<b，所以B有两解，

即△ABC有两解；

对于D，由正弦定理 $\frac{a}{s i n A}$ = $\frac{b}{s i n B}$ ，可得sin B= $\frac{2 \sqrt{17}}{17}$ <sin $\frac{π}{6}$ ，又a>b，所以B只有一解，即△ABC只有一解.

第8题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是(　　)

A: 若 $\vec{A C}$ · $\vec{A B}$ >0，则△ABC是锐角三角形
B: 若sin A>sin B，则a>b
C: 若acos C=b+ $\frac{c}{2}$ ，则A= $\frac{2 π}{3}$
D: 若A=30°，a=2，b=2 $\sqrt{2}$ ，则△ABC只有一解

解析:

对于A，因为 $\vec{A C}$ · $\vec{A B}$ >0，即| $\vec{A C}$ || $\vec{A B}$ |cos A>0，cos A>0，所以A是锐角，但B，C是否都为锐角，不确定，A错误；

对于B，由正弦定理得 $\frac{a}{s i n A}$ = $\frac{b}{s i n B}$ ，因此sin A>sin B⇔a>b，B正确；

对于C，因为acos C=b+ $\frac{c}{2}$ ，

由余弦定理得a· $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ =b+ $\frac{c}{2}$ ，

化简得a²-b²-c²=bc，

所以cos A= $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ =- $\frac{1}{2}$ ，

又A∈(0，π)，所以A= $\frac{2 π}{3}$ ，C正确；

对于D，由正弦定理得 $\frac{a}{s i n A}$ = $\frac{b}{s i n B}$ ，即sin B= $\frac{b s i n A}{a}$ = $\frac{2 \sqrt{2} s i n 30 °}{2}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，而0°<B<180°，又由b>a得B>A，因此B=45°或135°，所以△ABC有两解，D错误.

第9题 (多选题) 难度 - 基础题：

(多选)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a-2ccos B=c，则下列结论正确的是(　　)

A: b²=c(a+c)
B: B=2C
C: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ <sin C< $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D: 1< $\frac{a}{c}$ <2

解析:

因为a-2ccos B=c，所以由余弦定理的推论得a-2c· $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$ =c，整理得b²=c(a+c)，故A正确；

因为a-2ccos B=c，所以由正弦定理得sin A-2sin Ccos B=sin C，即sin(B+C)-2sin Ccos B=sin C，所以sin(B-C)=sin C，因为C∈ $(0, \frac{π}{2})$ ，

B-C∈ $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，所以B-C=C，即B=2C，故B正确；

由△ABC为锐角三角形，

得C∈ $(0, \frac{π}{2})$ ，B=2C∈ $(0, \frac{π}{2})$ ，

A=π-B-C=π-3C∈ $(0, \frac{π}{2})$ ，

所以C∈ $(\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，所以 $\frac{1}{2}$ <sin C< $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，故C错误；

因为a-2ccos B=c，所以 $\frac{a}{c}$ =2cos B+1=3-4sin²C，因为C∈ $(\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，所以 $\frac{a}{c}$ ∈(1，2)，故D正确.

第10题 (填空题) 难度 - 基础题：

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a(sin A-sin B)=(c-b)(sin B+sin C)，c=2，则△ABC的外接圆的面积等于　　　　.

答案:

$\frac{4 π}{3}$

解析:

由题可知，a(a-b)=(c-b)(b+c)，

整理得a²+b²-c²=ab，

所以cos C= $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ = $\frac{1}{2}$ ，

又0<C<π，所以C= $\frac{π}{3}$ .

所以外接圆的直径2R= $\frac{c}{s i n C}$ = $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，

即R= $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，故外接圆的面积等于 $\frac{4 π}{3}$ .

第11题 (填空题) 难度 - 基础题：

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(bsin C，a)，n= $(\frac{1}{2} s i n A, 2 c o s A)$ .已知a=4，且m∥n，则b²+c²=　　　　　.

答案:

解析:

因为向量m=(bsin C，a)，

n= $(\frac{1}{2} s i n A, 2 c o s A)$ ，m∥n，

所以2bsin Ccos A= $\frac{1}{2}$ asin A，由正弦定理及a=4可知，2bccos A= $\frac{1}{2}$ a²=8，由余弦定理可得b²+c²-a²=2bccos A=8，则b²+c²=a²+8=24.

第12题 (填空题) 难度 - 基础题：

江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°，且两条船与炮台底部的连线成30°角，则两条船之间的距离为　　　　m.

答案:

10 $\sqrt{3}$

解析:

设炮台顶部为A，两条船分别为B，C，炮台底部为D(如图)，则∠BAD=45°，∠CAD=30°，∠BDC=30°，AD=30 m.

在Rt△ABD与Rt△ACD中，tan 45°= $\frac{D B}{A D}$ ，tan 30°= $\frac{D C}{A D}$ ，

则DB=30 m，DC=10 $\sqrt{3}$ m.

在△DBC中，由余弦定理BC²=DB²+DC²-2DB·DCcos 30°，得BC²=30²+(10 $\sqrt{3}$ )²-2×30×10 $\sqrt{3}$ × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ =300，解得BC=10 $\sqrt{3}$ m.

第13题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

在△ABC中，BC= $\sqrt{5}$ ，AC=3，sin C=2sin A.

(1)求AB的值；

(2)求sin $(2 A - \frac{π}{4})$ 的值.

答案:

解　(1)在△ABC中，由正弦定理，得

AB= $\frac{s i n C}{s i n A}$ ·BC=2BC=2 $\sqrt{5}$ .

(2)在△ABC中，根据余弦定理的推论，

得cos A= $\frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B \cdot A C}$ = $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，

∴sin A= $\sqrt{1 - c o s^{2} A}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，

∴sin 2A=2sin Acos A= $\frac{4}{5}$ ，

cos 2A=cos²A-sin²A= $\frac{3}{5}$ ，

∴sin $(2 A - \frac{π}{4})$ =sin 2Acos $\frac{π}{4}$ -cos 2Asin $\frac{π}{4}$ = $\frac{\sqrt{2}}{10}$ .

第14题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+ $\sqrt{3}$ cos A=2.

(1)求A；

(2)若a=2， $\sqrt{2}$ bsin C=csin 2B，求△ABC的周长.

答案:

解　(1)方法一　常规方法(辅助角公式)

由sin A+ $\sqrt{3}$ cos A=2，

可得 $\frac{1}{2}$ sin A+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cos A=1，

即sin $(A + \frac{π}{3})$ =1，

由于A∈(0，π)⇒A+ $\frac{π}{3}$ ∈ $(\frac{π}{3}, \frac{4 π}{3})$ ，

故A+ $\frac{π}{3}$ = $\frac{π}{2}$ ，

解得A= $\frac{π}{6}$ .

方法二　常规方法(同角三角函数的基本关系)

由sin A+ $\sqrt{3}$ cos A=2，

又sin²A+cos²A=1，

消去sin A得到

4cos²A-4 $\sqrt{3}$ cos A+3=0⇔(2cos A- $\sqrt{3}$ )²=0，

解得cos A= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

又A∈(0，π)，故A= $\frac{π}{6}$ .

(2)由题设条件和正弦定理得，

$\sqrt{2}$ bsin C=csin 2B⇔ $\sqrt{2}$ sin Bsin C

=2sin Csin Bcos B，

又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，

进而cos B= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，得到B= $\frac{π}{4}$ ，

于是C=π-A-B= $\frac{7 π}{12}$ ，

sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)

=sin Acos B+cos Asin B

= $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ ，

由正弦定理可得，

$\frac{a}{s i n A}$ = $\frac{b}{s i n B}$ = $\frac{c}{s i n C}$ ，

即 $\frac{2}{s i n \frac{π}{6}}$ = $\frac{b}{s i n \frac{π}{4}}$ = $\frac{c}{s i n \frac{7 π}{12}}$ ，

解得b=2 $\sqrt{2}$ ，c= $\sqrt{6}$ + $\sqrt{2}$ ，

故△ABC的周长为2+ $\sqrt{6}$ +3 $\sqrt{2}$ .

第15题 (解答题) - 简答题难度 - 基础题：

如图，目标A在某观测站C的北偏东25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路.在C处测得与C相距31千米的公路上的B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D处，此时测得CD为21千米.

(1)求sin B的值；

(2)求A，C两处的距离.

答案:

解　(1)根据题意，如图，在△BCD中，BC=31，

BD=20，CD=21，

所以cos B= $\frac{D B^{2} + B C^{2} - C D^{2}}{2 D B \cdot B C}$ = $\frac{20^{2} + 31^{2} - 21^{2}}{2 \times 20 \times 31}$ = $\frac{920}{1 240}$ = $\frac{23}{31}$ ，

所以sin B= $\sqrt{1 - {(\frac{23}{31})}^{2}}$ = $\frac{12 \sqrt{3}}{31}$ .

(2)在△ABC中，由正弦定理 $\frac{A C}{s i n B}$ = $\frac{B C}{s i n A}$ ，

得AC= $\frac{B C s i n B}{s i n A}$ = $\frac{31 \times \frac{12 \sqrt{3}}{31}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ =24.

即A，C两处的距离为24千米.

第六章 周练3(范围：6.4.3)

第六章周练3(范围：6.4.3)