第一章 作业6 | 集合综合课

设全集U={1，2，3，4，5}，集合M满足∁_UM={1，3}，则(　　)

• A: 2∈M
• B: 3∈M
• C: 4∉M
• D: 5∉M

解析:

由题意知M={2，4，5}，故选A.

命题p：∀x∈N，x³>x²的否定形式¬p为(　　)

• A: ∀x∈N，x³≤x²
• B: ∃x∈N，x³>x²
• C: ∃x∈N，x³<x²
• D: ∃x∈N，x³≤x²

解析:

“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，

故¬p为∃x∈N，x³≤x².

设集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a+1}，若A⊆B，则a的取值范围是(　　)

• A: {a|a≤2}
• B: {a|a≤1}
• C: {a|a≥1}
• D: {a|a≥2}

解析:

∵A⊆B，∴a+1≥2，即a≥1.

设集合A={x|x²-3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是(　　)

• A: 1
• B: 3
• C: 4
• D: 6

解析:

易知A={1，2}，又A∪B={0，1，2}，所以集合B可以是{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，共4个.

若集合A={1，m²}，B={3，9}，则“m=3”是“A∩B={9}”的(　　)

• A: 充分不必要条件
• B: 必要不充分条件
• C: 充要条件
• D: 既不充分也不必要条件

解析:

若m=3，则A={1，9}，B={3，9}，A∩B={9}，

∴“m=3”是“A∩B={9}”的充分条件.

若A∩B={9}，则m²=9，m=±3，

故A∩B={9}m=3，

∴“m=3”是“A∩B={9}”的充分不必要条件.

移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用过共享单车的学生人数为(　　)

• A: 50
• B: 60
• C: 70
• D: 80

解析:

根据题意，使用过移动支付、共享单车的人数用Venn图表示如图所示，

使用过共享单车或移动支付的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，则可得只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90-80=10(位)，又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，即使用过共享单车的学生人数为10+60=70.

下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是(　　)

• A: 所有能被6整除的正数都是偶数
• B: 存在三角形的一个内角，其余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C: ∃m∈N，x²+mx+2=0无解
• D: ∀x∈N，x³>x²

解析:

A项为全称量词命题，所有能被6整除的正数一定能被2整除，都是偶数，故A不符合题意；

B，C项为存在量词命题，故B，C不符合题意；

D项，当x=0时，x³>x²不成立，故D符合题意.

下列说法正确的是(　　)

• A: x≥3是x>5的充分不必要条件
• B: x≠±1是|x|≠1的充要条件
• C: 若q⇒p，则p是q的充分条件
• D: 一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形

解析:

{x|x>5}{x|x≥3}，所以x≥3是x>5的必要不充分条件，故A错误；

x≠±1时，|x|≠1，反过来也成立，所以x≠±1是|x|≠1的充要条件，故B正确；

q⇒p，则p是q的必要条件，故C错误；

矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D错误.

(多选)下列说法正确的是(　　)

• A: 命题“∀x∈R，x²>-1”的否定是“∃x∈R，x²≤-1”
• B: 命题“∃x∈R，x²≤2”的否定是“∀x∈R，x²>2”
• C: 存在x∈Q，使得2x²+x+1=0是真命题
• D: 若命题“∃x∈R，4x²+2x+n=0”为假命题，则实数n的取值范围是n>$\frac{1}{4}$

解析:

原命题的否定是“∃x∈R，x²≤-1”，故A正确；原命题的否定是“∀x∈R，x²>2”，故B正确；因为Δ=1-8=-7<0，即方程2x²+x+1=0无实数解，也无有理数解，故为假命题，故C错误；若命题“∃x∈R，4x²+2x+n=0”为假命题，则命题“∀x∈R，4x²+2x+n≠0”为真命题，即4x²+2x+n=0无实数解，则Δ=4-16n<0，解得n>$\frac{1}{4}$，故D正确.

(多选)若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件，则实数k的值可以是(　　)

• A: -8
• B: -5
• C: -3
• D: 1

解析:

若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件，

则k≥1或k+2≤-4，解得k≤-6或k≥1，

所以A，D选项符合，B，C选项不符合.

(多选)已知命题p：∃x∈R，ax²-4x-4=0，若p为真命题，则a的值可以为(　　)

• A: -2
• B: -1
• C: 0
• D: 3

解析:

当a=0时，x=-1，p为真命题，则a=0符合题意，

当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥-1且a≠0，

综上，当p为真命题时，a的取值范围为a≥-1.

命题“对∀x∈R，都有x³≥0”的否定为　　　　　　　　　　　　.

答案:

∃x∈R，使得x³<0

解析:

改变量词，否定结论.所以命题“对∀x∈R，都有x³≥0”的否定为“∃x∈R，使得x³<0”.

设集合S={x|x<-1或x>5}，T={x|a<x<a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是　　　　　　.

答案:

{a|-3<a<-1}

解析:

由题意可知$\left\{\begin{array}{l}a<-1,\\ a+8>5,\end{array}\right.$

∴-3<a<-1.

已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|-1<x<m+1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　.

答案:

{m|m>1}

解析:

由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，

得AB，即$\left\{\begin{array}{l}m+1>-1,\\ m+1>2,\end{array}\right.$即m>1.

已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={x|x²-3x+2=0}，B={x∈Z|1≤x≤5}，C={x∈Z|2<x<9}.求：

(1)A∪(B∩C)；

(2)(∁_UB)∪(∁_UC).

答案:

解　(1)依题意知A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，C={3，4，5，6，7，8}，

∴B∩C={3，4，5}，故有A∪(B∩C)={1，2}∪{3，4，5}={1，2，3，4，5}.

(2)由∁_UB={6，7，8}，∁_UC={1，2}，

故有(∁_UB)∪(∁_UC)={6，7，8}∪{1，2}={1，2，6，7，8}.

已知集合P={2，x，y}，Q={2x，2，y²}，且P=Q，求x，y的值.

答案:

解　∵P=Q，∴$\left\{\begin{array}{l}x=2x,\\ y=y^2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=y^2,\\ y=2x,\end{array}\right.$

解得$\left\{\begin{array}{l}x=0,\\ y=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0,\\ y=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4},\\ y=\frac{1}{2},\end{array}\right.$

由元素的互异性可知x≠y，

故x=0，y=1或x=$\frac{1}{4}$，y=$\frac{1}{2}$.

用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假.

(1)对所有的实数a，b，方程ax+b=0恰有唯一解；

(2)存在实数x，使得$\frac{1}{\left|x\right.+1|+1}$=2.

答案:

解　(1)∀a∈R，b∈R，方程ax+b=0恰有唯一解.假命题.当a=0，b=1时无解.

(2)∃x∈R，使得$\frac{1}{\left|x\right.+1|+1}$=2，假命题.

∵|x+1|+1≥1，∴$\frac{1}{\left|x\right.+1|+1}$≤1.

∴不存在x∈R，使得$\frac{1}{\left|x\right.+1|+1}$=2.

已知集合A={x|a+1≤x≤2a-1}，B={x|x≤3或x>5}.

(1)若a=4，求A∩B；

(2)若A⊆B，求a的取值范围.

答案:

解　(1)当a=4时，易得A={x|5≤x≤7}，

∵B={x|x≤3或x>5}，

∴A∩B={x|5<x≤7}.

(2)若2a-1<a+1，即a<2，则A=∅，满足A⊆B；

若2a-1≥a+1，即a≥2，

要使A⊆B，只需$\left\{\begin{array}{l}2a-1\le 3,\\ a\ge 2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a+1>5,\\ a\ge 2,\end{array}\right.$

解得a=2或a>4，

综上所述，a的取值范围为$\left\{a|a\le 2\right.$或$\left.a>4\right\}$.

设集合A={x|-1≤x≤2}，集合B={x|2m<x<1}.

(1)若B≠∅，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；

(2)若B∩(∁_RA)中只有一个整数，求实数m的取值范围.

答案:

解　(1)∵B≠∅，∴2m<1，解得m<$\frac{1}{2}$，

又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，

∴BA，

则需满足2m≥-1，即m≥-$\frac{1}{2}$，

综上所述，m的取值范围是-$\frac{1}{2}$≤m<$\frac{1}{2}$.

(2)∵A={x|-1≤x≤2}，

∴∁_RA={x|x<-1或x>2}.

①当B≠∅时，此时m<$\frac{1}{2}$，

若B∩(∁_RA)中只有一个整数，则-3≤2m<-2，

解得-$\frac{3}{2}$≤m<-1；

②当B=∅时，此时m≥$\frac{1}{2}$，不符合题意.

综上所述，m的取值范围是-$\frac{3}{2}$≤m<-1.