第一章 作业6 | 集合综合课

已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，6}，则∁_UA等于(　　)

• A: {1，3，4，7}
• B: {1，3，7，8}
• C: {1，3，4，7，8}
• D: {1，3，4，5，7，8}

解析:

集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，5，6}，

故∁_UA={1，3，4，7，8}.

已知集合A={x|-2<x<3}，B={x∈N|-1<x≤3}，则A∩B等于(　　)

• A: {0，1}
• B: {1，2}
• C: {0，1，2}
• D: {0，1，2，3}

解析:

因为A={x|-2<x<3}，集合B={x∈N|-1<x≤3}={0，1，2，3}，

所以A∩B={0，1，2}.

已知非空集合A={x|2-a<x<1+3a}，集合B={a}，B⊆A，则实数a的取值范围是(　　)

• A: a>1
• B: a>-$\frac{1}{2}$
• C: -$\frac{1}{2}$<a<1
• D: 无解

解析:

由B⊆A可知B是A的子集，

结合数轴可知，2-a<a<1+3a，

即$\left\{\begin{array}{l}2-a<a,\\ a<1+3a,\end{array}\right.$解得a>1.

集合A，B满足A∪B={1，3，5，7，9}，A∩B={1，7}，A={1，5，7}，则集合B中的元素个数为(　　)

• A: 3
• B: 4
• C: 5
• D: 6

解析:

由集合A，B满足A∪B={1，3，5，7，9}，

因为A∩B={1，7}，可得{1，7}⊆B，

又因为A={1，5，7}，可得5∉B，

因为A∪B={1，3，5，7，9}，所以B={1，3，7，9}，即集合B中的元素个数为4.

如图，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)

• A: (M∩P)∩S
• B: (M∩P)∪S
• C: (M∩P)∩(∁_US)
• D: (M∩P)∪(∁_US)

解析:

题图中的阴影部分是M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁_US的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁_US).

(多选)已知a，b∈R，集合{a，b，1}与集合{a²，a+b，0}相等，下列说法正确的是(　　)

• A: b=-1
• B: b=0
• C: a=-1
• D: a^2 024+b^2 024=1

解析:

根据题意，a=0或b=0，

当a=0时，a²=0，不符合题意；

当b=0时，{a，b，1}={a，0，1}，{a²，a+b，0}={a²，a，0}，

则a²=1，解得a=1(舍去)或a=-1，

所以a=-1，b=0，a^2 024+b^2 024=1.

(多选)已知集合{x|(x-a²)(x-1)=0}的元素之和为1，则实数a所有可能的取值为(　　)

• A: -1
• B: 0
• C: 1
• D: 2

解析:

因为集合{x|(x-a²)(x-1)=0}的元素之和为1，

所以当一元二次方程(x-a²)(x-1)=0有两个相等实根时，可得x=a²=1，即a=±1；

当方程有两个不相等实根时，x=a²=0，即a=0，

综上，实数a 所有取值的集合为{0，1，-1}.

(多选)已知两个数集A和B，定义A-B={x|x∈A，x∉B}，AΔB=(A-B)∪(B-A).则下列命题正确的有(　　)

• A: 任意A，B，都有AΔB=BΔA成立
• B: 任意A，B，都有AΔ(AΔB)=BΔ(BΔA)成立
• C: 存在A，B，使AΔB=∅成立
• D: 存在A，B，使AΔB=R成立

解析:

AΔB=(A-B)∪(B-A)={x|x∈A，x∉B或x∈B，x∉A}，BΔA=(B-A)∪(A-B)={x|x∈B，x∉A或x∈A，x∉B}，则AΔB=BΔA成立，故A正确；BΔ(BΔA)={x|x∈A，x∈B或x∈A，x∉B}=A，AΔ(AΔB)={x|x∈A，x∈B或x∈B，x∉A}=B，则AΔ(AΔB)=BΔ(BΔA)不一定成立，故B错误；令A=B={1，2}，则AΔB=∅，故C正确；令A={x|x>1}，B={x|x≤1}，则AΔB=R，故D正确.

集合A={5，a+3}，B={a²+1，a，a+1}，若A∩B={2}，则实数a=　　　　.

答案:

-1

解析:

因为A∩B={2}，则2∈A，

所以a+3=2，a=-1，此时B={2，-1，0}满足题意.

已知-3∈{12，a²+4a，a}，则实数a=.

答案:

-1

解析:

若a=-3，则a²+4a=9-12=-3，不符合集合元素的互异性，舍去；

若a²+4a=-3，则a²+4a+3=0，可得a=-1或a=-3(舍去)，

所以a=-1，此时集合为{12，-3，-1}.

已知全集U={x|x取小于20的质数}，且B∩∁_UA={2，3}，A∩∁_UB={11，17}，∁_U(A∪B)={5}，则A∩B=.

答案:

{7，13，19}

解析:

∵全集U={x|x取小于20的质数}={2，3，5，7，11，13，17，19}，

且B∩∁_UA={2，3}，A∩∁_UB={11，17}，∁_U(A∪B)={5}，

∴由Venn图可知A={11，17，7，13，19}，B={2，3，7，13，19}，

∴A∩B={7，13，19}.

若集合A={x|x²-5x+6=0}，B={y|my+2=0}，若满足A∪B=A的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为.

答案:

7

解析:

由A={x|x²-5x+6=0}可得A={2，3}，

由于A∪B=A，所以B⊆A，

当B=∅时，m=0，

当B={2}时，则2m+2=0，解得m=-1，

当B={3}时，则3m+2=0，解得m=-$\frac{2}{3}$，

所以Q=$\left\{0，-1，-\frac{2}{3}\right\}$，

故Q的真子集个数为2³-1=7.

已知全集U=R，A={x|-1≤x≤4}，B={x||x|≤2}，P=$\left\{x\left|x\le 0\mathrm{或}x\ge \frac{7}{2}\right.\right\}$.

(1)求A∪B，A∩B；

(2)求(∁_UB)∩P.

答案:

解　(1)由B={x||x|≤2}，可得B={x|-2≤x≤2}，

∵A={x|-1≤x≤4}，

∴A∪B={x|-2≤x≤4}，A∩B={x|-1≤x≤2}.

(2)∁_UB={x|x<-2或x>2}，

(∁_UB)∩P=$\left\{x\left|x<-2\mathrm{或}x\ge \frac{7}{2}\right.\right\}$.

已知集合A={x|ax²-2x+1=0，a∈R}.

(1)若A是空集，求实数a的取值范围；

(2)当B={x|x>0}时，若A∩B为非空集合，求实数a的取值范围.

答案:

解　(1)若A是空集，则方程ax²-2x+1=0无实根，

当a=0时，-2x+1=0，

解得x=$\frac{1}{2}$，不符合题意.

所以a≠0，Δ=4-4a<0，解得a>1.

故实数a的取值范围为{a|a>1}.

(2)当B={x|x>0}时，A∩B≠∅.

所以方程ax²-2x+1=0至少有一个正实根.

①当a=0时，-2x+1=0，解得x=$\frac{1}{2}$，

所以A∩B=$\left\{\frac{1}{2}\right\}$，符合题意.

②当a≠0时，由Δ=4-4a≥0，则a≤1且a≠0.

当a=1时，A={x|x²-2x+1=0}={1}.

此时A∩B={1}，符合题意.

当a<1且a≠0时，方程ax²-2x+1=0有两个不相等的实根，

且方程ax²-2x+1=0有两正根或一正根和一负根.

所以$\left\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=\frac{1}{a}>0,\\ x_1+x_2=\frac{2}{a}>0,\\ a<1\mathrm{且}a\ne 0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=\frac{1}{a}<0,\\ a<1\mathrm{且}a\ne 0,\end{array}\right.$

解得0<a<1或a<0.

综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}.

已知集合U=R，M={x|x≤-5或x≥8}，N={x|a-1≤x≤2a+1}.

(1)若a=5，求(∁_UM)∩N；

(2)若M∩N=N，求实数a的取值范围.

答案:

解　(1)当a=5时，N={x|4≤x≤11}.

又M={x|x≤-5或x≥8}，

∴∁_UM={x|-5<x<8}.

因此(∁_UM)∩N={x|4≤x<8}.

(2)由M∩N=N，知N⊆M.

当N=∅时，a-1>2a+1，

∴a<-2，满足N⊆M.

当N≠∅时，2a+1≥a-1，则a≥-2.

要使N⊆M，则2a+1≤-5或a-1≥8，

解得a≤-3或a≥9.

又a≥-2，所以a≥9.

综上可知，实数a的取值范围为{a|a≥9或a<-2}.

已知集合P={x∈R|x²-3x+b=0}，Q={x∈R|(x+1)(x²+3x-4)=0}.

(1)若b=4，存在集合M使得P为M的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；

(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.

答案:

解　(1)当b=4时，方程x²-3x+b=0的判别式Δ=(-3)²-4×1×4<0，

所以P=∅.

又Q={x∈R|(x+1)(x²+3x-4)=0}={-4，-1，1}，故PQ.

由已知，得M是一个非空集合，且是Q的一个真子集，

用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{-4}，{-1}，{1}，{-4，-1}，{-4，1}，{-1，1}.

(2)当P=∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x²-3x+b=0，

有Δ=9-4b<0，所以b>$\frac{9}{4}$.

当P≠∅时，因为Q={-4，-1，1}，所以当-1∈P时，

(-1)²-3×(-1)+b=0，即b=-4，

此时P={x|x²-3x-4=0}={4，-1}，

因为4∉Q，所以P不是Q的子集；

同理当-4∈P时，b=-28，P={7，-4}，也不是Q的子集；

当1∈P时，b=2，P={1，2}，也不是Q的子集.

综上，满足条件的b的取值范围是$\left\{b\left|b>\frac{9}{4}\right.\right\}$.

对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn，则在此定义下，集合M={(m，n)|m※n=8，m，n∈N^*}中的元素个数是(　　)

• A: 10
• B: 9
• C: 8
• D: 7

解析:

①当m，n都为正偶数时，符合条件的(m，n)有(2，6)，(4，4)，(6，2)，共3个；②当m，n都为正奇数时，符合条件的(m，n)有(1，7)，(3，5)，(5，3)，(7，1)，共4个；③当m，n中一个为正偶数，一个为正奇数时，符合条件的(m，n)有(1，8)，(8，1)，共2个，所以集合M中的元素个数是3+4+2=9.

定义集合运算：A⊗B={z|z=(x+y)(x-y)，x∈A，y∈B}，设A={$\sqrt{2}，\sqrt{3}$}，B={1，$\sqrt{2}$}，则集合A⊗B的真子集个数为(　　)

• A: 8
• B: 7
• C: 16
• D: 15

解析:

由题意知A={$\sqrt{2}，\sqrt{3}$}，B={1，$\sqrt{2}$}，

则A⊗B中的元素有($\sqrt{2}$+1)($\sqrt{2}$-1)=1，($\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$)($\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$)=0，($\sqrt{3}$+1)($\sqrt{3}$-1)=2，($\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$)($\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$)=1四种情况，由集合中元素互异性可知集合A⊗B中有3个元素，故集合A⊗B的真子集个数为2³-1=7.